Hook · 도입
"한 변이 $(a+b)$ 인 정사각형의 넓이는?"
$(a+b)^2$ 은 단순히 $a^2+b^2$ 이 아니다. 정사각형을 한 변 $a$ 와 $b$ 로 나눠보면, 네 조각이 생긴다 — 두 개의 정사각형 $a^2, b^2$ 과 두 개의 직사각형 $ab, ab$. 그래서 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. 중간의 $2ab$ 가 바로 핵심이다.
Core · 개념
세 개의 곱셈공식
Three Algebraic Identities
①완전제곱식 — 합의 제곱
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
대수적 유도
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$
기하적 증명
⚠ 자주 하는 실수 — $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. 중간의 $2ab$ 가 빠지면 안 된다!
②완전제곱식 — 차의 제곱
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
대수적 유도
$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
관찰
① 공식과 비교하면 $b$ 자리에 $-b$ 를 넣은 것.
→ 중간항만 부호가 바뀐다.
$a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
→ 중간항만 부호가 바뀐다.
$a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
⚠ 차의 제곱에서도 마지막 $b^2$ 의 부호는 양수. $(-b)^2 = b^2$.
③합과 차의 곱
$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
대수적 유도
$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$
중간 두 항이 정확히 상쇄된다.
중간 두 항이 정확히 상쇄된다.
활용
이 공식이 분모의 유리화(켤레식)와 인수분해 양쪽에 모두 쓰이는 가장 강력한 도구.
예) $(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = 5-1 = 4$
예) $(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = 5-1 = 4$
★ 가장 유용한 공식 — 결과가 두 항만 남는다는 점에서 매우 깔끔.
Pitfalls · 주의
가장 자주 하는 실수 3가지
Three Common Pitfalls
실수 01 · 중간항 누락
$(a+b)^2$ 을 $a^2+b^2$ 로 잘못 씀
잘못 : (x+3)² = x²+9
옳음 : (x+3)² = x²+6x+9
중간의 $2ab$ 가 항상 빠진다 — 두 항의 곱의 2배를 잊지 말 것.
실수 02 · 부호 혼동
$(a-b)^2$ 의 마지막 항 부호
잘못 : (x-2)² = x²-4x-4
옳음 : (x-2)² = x²-4x+4
$(-b)^2 = b^2$ — 음수의 제곱은 양수.
실수 03 · 계수 무시
앞에 계수가 붙은 경우
잘못 : (2x+3)² = 4x²+6x+9
옳음 : (2x+3)² = 4x²+12x+9
$a$ 자리에 $2x$ 가 들어가면 중간항은 $2\cdot(2x)\cdot 3 = 12x$.
Interactive · 실험실
공식 시뮬레이터
Live Formula Tester
세 공식 중 하나를 골라 $a, b$ 값을 바꿔보라.
Quick Check · 즉문즉답
5문제 즉시 점검
Five Rapid Questions
Q1. $(x+2)^2$ 을 전개하라.
Q2. $(x-3)^2$ 을 전개하라.
Q3. $(x+5)(x-5)$ 를 전개하라.
Q4. $(2x+3)^2$ 을 전개하라.
Q5. $(3x+2)(3x-2)$ 를 전개하라.
Examples · 예제
풀이가 있는 두 예제
Worked Examples
예제 1
$(3a-2b)^2$ 을 전개하라.
차의 제곱 공식 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 에서 $a\to 3a, b\to 2b$.
- $a^2 \to (3a)^2 = 9a^2$
- $-2ab \to -2\cdot(3a)\cdot(2b) = -12ab$
- $b^2 \to (2b)^2 = 4b^2$
- 모두 더하면 → $9a^2 - 12ab + 4b^2$
예제 2
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ 의 값을 구하라.
합·차의 곱 공식 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 에서 $a\to\sqrt{5}, b\to\sqrt{2}$.
- $a^2 \to (\sqrt{5})^2 = 5$
- $b^2 \to (\sqrt{2})^2 = 2$
- 차를 구한다 → $5 - 2 = 3$
- 이 공식이 분모의 유리화에 그대로 쓰이는 이유 — 두 무리수의 곱이 깔끔히 유리수가 된다.
Practice · 연습
난이도별 연습 8문제
Eight Graded Problems
01★
$(x+4)^2$ 을 전개하라.
02★
$(x-5)^2$ 을 전개하라.
03★
$(x+6)(x-6)$ 을 전개하라.
04★★
$(2x-5)^2$ 을 전개하라.
05★★
$(3x+4y)^2$ 을 전개하라.
06★★
$(5x+7)(5x-7)$ 을 전개하라.
07★★★
$(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)$ 의 값을 구하라.
08★★★
$(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$ 의 값을 구하라. (예: $7+2\sqrt{10}$ 형태)
세 공식은 평생 외운다
$(a+b)^2$, $(a-b)^2$, $(a+b)(a-b)$ — 이 셋은 중·고등학교를 거쳐 대학까지 가장 빈번하게 사용되는 식이다. 한 번 외워두면 매번 분배법칙을 풀 필요 없이, 보자마자 답이 나온다.
"In mathematics, the art of asking questions is more valuable than solving them." — Georg Cantor